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<title>Homöoid</title>
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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Homöoid</span></h1>
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<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">
<p>Ein <b>Homöoid</b> ist in drei Dimensionen eine Schale, die durch zwei <a href="Konzentrisch" class="mw-redirect" title="Konzentrisch">konzentrische</a>, <a href="%C3%84hnlichkeit_(Geometrie)" title="Ähnlichkeit (Geometrie)">ähnliche</a> <a href="Ellipsoid" title="Ellipsoid">Ellipsoide</a> berandet ist.
In zwei Dimensionen ist ein Homöoid ein elliptischer Ring, der durch entsprechende <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipsen</a> berandet ist.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mathematische_Definition">Mathematische Definition</h2></div>
<p>Wird die äußere Berandung durch ein implizit gegebenes Ellipsoid
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}">
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68f83fa62cd61acf1ca6e1a1ab024fc7bf317df1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:19.193ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>mit den Halbachsen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \!\ a,b,c}">
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4bca348d15ff4121891f4057e821d59fa3d7f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.387ex; width:5.883ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \!\ a,b,c}" loading="lazy"></span> beschrieben, so ist für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leq m\leq 1}">
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/220156bb6c49660d519a0301ce8dd2a5032607b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.562ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0\leq m\leq 1}" loading="lazy"></span> die innere Berandung durch
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=m^{2}}">
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=m^{2}}</annotation>
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35b97dbaadecb52a64a34ae97a356aceae624a3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:21.126ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=m^{2}}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>gegeben.
</p><p>Im Grenzfall von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \!\ m\to 1}">
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \!\ m\to 1}</annotation>
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/009e68e340a322b90f1b1e8b158fde71c8be6b82.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-left: -0.387ex; width:7.398ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \!\ m\to 1}" loading="lazy"></span> spricht man von <i>dünnen</i>, im anderen Fall von <i>dicken</i> Homöoiden.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Physikalische_Bedeutung_I">Physikalische Bedeutung I</h2></div>
<p>Die physikalische Bedeutung von Homöoiden in der <a href="Potentialtheorie" title="Potentialtheorie">Potentialtheorie</a> liegt darin, dass <i>innerhalb</i> eines <a href="Homogenit%C3%A4t" title="Homogenität">homogen</a> mit Masse bzw. Ladung gefüllten Homöoiden auf eine Probemasse bzw. Ladung keine Kraft ausgeübt wird. Das entsprechende <a href="Potential_(Physik)" title="Potential (Physik)">Potential</a> ist daher konstant, siehe auch <a href="Prinzip_der_Entbl%C3%A4tterung" title="Prinzip der Entblätterung">Prinzip der Entblätterung</a>. Dies gilt <i>nicht</i> für andere elliptische Schalen, z. B. <a href="Fokaloid" title="Fokaloid">Fokaloide</a>.
</p><p>Das Potential im <i>Äußeren</i> eines dünnen Homöoiden ist auf Ellipsoiden konstant, die <a href="Konfokale_Kegelschnitte#Konfokale_Quadriken" title="Konfokale Kegelschnitte">konfokal</a> zu diesem Homöoiden liegen. Diese bemerkenswerten Eigenschaften wurden bereits von <a href="Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> bewiesen.
</p><p>In der Astronomie und Geophysik kann die Theorie der Homöoide zur Berechnung von <a href="Gleichgewichtsfigur" title="Gleichgewichtsfigur">Gleichgewichtsfiguren</a> dienen. Da bei allen größeren Himmelskörpern die Dichte nach innen zunimmt, können sie zwiebelschalenartig durch dünne Schichten gleicher <a href="Dichte" title="Dichte">Dichte</a> modelliert werden.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition_homöoidale_Verteilung"><span id="Definition_hom.C3.B6oidale_Verteilung"></span>Definition homöoidale Verteilung</h2></div>
<p>Man spricht von einer <b>homöoidalen</b> <a href="Dichte" title="Dichte">Dichteverteilung</a>, wenn die Schichten konstanter Dichte einer Massen- oder Ladungsverteilung durch konzentrische, einander ähnliche Ellipsoide gegeben sind.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Physikalische_Bedeutung_II">Physikalische Bedeutung II</h2></div>
<p><i>Innerhalb</i> einer homöoidalen Dichteverteilung tragen zur Kraftwirkung auf einen Körper nur die Schichten bei, die sich innerhalb des zur Berandung konzentrischen, ähnlichen Ellipsoiden befinden, der durch den Körper verläuft.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>
<ul><li><a href="Fokaloid" title="Fokaloid">Fokaloid</a></li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>
<ul><li><a href="Subrahmanyan_Chandrasekhar" title="Subrahmanyan Chandrasekhar">S. Chandrasekhar</a>: <i>Ellipsoidal Figures of Equilibrium</i> (= <i>The Silliman Foundation Lectures</i> 42). Yale University Press, New Haven CT u. a. 1969, ISBN 0-300-01116-4.</li>
<li><a href="Edward_Routh" title="Edward Routh">Edward John Routh</a>: <i>A Treatise on Analytical Statics.</i> Volume II. Cambridge University Press, Cambridge 1882.</li></ul></div><!--htdig_noindex--><div><div class="zim-footer">
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